Promotie: Wiskunde

De heer M. Rafei | Master of Science in Mechanical Engineering
promotor | Prof.dr.ir. A.W. Heemink EWI
copromotor | Dr.ir. W.T. van Horssen UHD-EWI

On asymptotics for difference equations

In dit proefschrift wordt een klasse van niet-lineaire oscillator-vergelijkingen bestudeerd. Asymptotische benaderingen van eerste integralen voor de niet-lineaire differentie-vergelijkingen worden geconstrueerd met behulp van de recentelijk ontwikkelde storingsmethode welke gebaseerd is op invariantie vectoren. De asymptotische benaderingen van de oplossingen van de oscillator-vergelijkingen kunnen
worden afgeleid uit deze asymptotische benaderingen van de eerste integralen. Aangetoond wordt dat alle invariantie factoren aan een functionaal vergelijking voldoen. Een van de belangrijkste problemen bij het vinden van eerste integralen voor eerste orde differentievergelijkingen is het oplossen van de eerder genoemde functionaal vergelijking. In dit proefschrift beschouwen we een functionaal vergelijking die gerelateerd is aan een systeem van twee eerste orde, lineaire gewone differentie-vergelijkingen.
Lineaire transformaties en een aangepaste versie van de methode van scheiding van variabelen worden gebruikt om de algemene oplossing van deze functionaal vergelijking te construeren. Een storingsmethode gebaseerd op invariantie factoren en meerdere iteratie schalen worden gepresenteerd voor zwak niet-lineaire, systemen van gewone differentie-vergelijkingen. Asymptotische benaderingen van de eerste integralen worden geconstrueerd op lange iteratie-schalen, dat wil zeggen, op iteratie-schalen van de orde Ɛ⁻¹, waarbij Ɛ een kleine parameter is. Om te laten zien hoe deze storingsmethode werkt, wordt de methode toegepast op een Van der Pol vergelijking, en een Rayleigh vergelijking.
Ook wordt een verbeterde versie van de meer schalen storingsmethode toegepast op een algemeen stelsel van zwak niet-lineaire, gewone differentie-vergelijkingen met lineaire, kwadratische, en kubische termen. Dergelijke systemen ontstaan als gevolg van een discretisatie van een stelsel van niet-lineaire differentiaal-vergelijkingen, of komen voor in de stabiliteitsanalyse van niet-lineaire trillingen. Als een voorbeeld in de studie van de gedwongen trillingen van een sdofo met een tijdsafhankelijke massa, wordt een systeem van twee niet-lineaire gewone differentie-vergelijkingen bestudeerd om de stabiliteitseigenschappen van de oscillator te bepalen. Voor dergelijke oscillatoren zijn de gedwongen trillingen een gevolg van kleine massa’s die periodiek op de en van de oscillator vallen met verschillende snelheden. In onze procedure worden asymptotische benaderingen van de oplossingen van de differentie-vergelijkingen geconstrueerd, die geldig zijn op lange iteratie schalen.
In dit proefschrift wordt aangetoond dat de storingsmethode welke gebaseerd is op invariantie vectoren kan worden toegepast op zwak niet-lineaire oscillator-vergelijkingen, welke ”dicht” liggen bij integreerbare vergelijkingen (d.w.z. welke integreerbaar zijn in het ongestoorde geval).

Meer informatie?
Voor inzage in proefschriften van de promovendi kunt u kijken in de TU Delft Repository op: repository.tudelft.nl. TU Delft Repository is de digitale vindplaats van openbare publicaties van de TU Delft. Proefschriften zullen binnen een paar weken na de desbetreffende promotie in de Repository te vinden zijn.